Question

$1 ^{2} + 2 {}^{2} + 3 {}^{2} + ... + (2n - 1) {}^{2 } = frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$
помогите математическая инудкция

Answer 1

1) Базис индукции: n=1

$(2cdot 1-1)^2=dfrac{1cdot(2cdot1-1)(2cdot 1+1)}{3}\\1=1$

2) Предположим что и при n=k равенство верно

$1^2+2^2+3^2+...+(2n-1)^2=dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$

3) Индукционный переход: n = k+1

$underbrace{1^2+2^2+3^2+...+(2k-1)^2}_{dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}}+(2(k+1)-1)^2=dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$

Докажем теперь равенство, а именно покажем что левая часть равна правой части.

$dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2(k+1)-1)^2=dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2=\ \ =dfrac{k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^2}{3}=dfrac{(2k+1)(k(2k-1)+3(2k+1))}{3}=\ \ =dfrac{(2k+1)(2k^2-k+6k+3)}{3}=dfrac{(2k+1)(2k^2+2k+3k+3)}{3}=\ \ =dfrac{(2k+1)((2k(k+1)+3(k+1))}{3}=dfrac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}$

Что и требовалось доказать

Answer 2

СПАСИБО ОГРОМНОЕ