Question

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C=90°)AB=20см, AC=16см, AK-биссектриса. Найти:BC, BK, KC

Answer 1

1. BC находим по теореме Пифагора:

BC = √(AB²-AC²) = √(20² - 16²) = √(400 - 256) = √144 = 12 см

2. По свойству биссектрисы имеем:

$frac{AC}{AK}=frac{BC}{BK}$

Пусть AK = x см, тогда BK = 20-x см

$frac{16}{x}=frac{12}{20-x}\ \16(20-x)=12x\ 320-16x=12x\ 28x=320\ \ x=frac{80}{7} cm$

$BK=20-x=20-frac{80}{7}=frac{60}{7}cm$

3. $cosA=frac{AC}{AB}=frac{16}{20}=frac{4}{5}$

По теореме косинусов из ΔAKC получаем:

$KC^2=AC^2+AK^2-2cdot ACcdot AKcdot cosA\ \ KC^2=16^2+(frac{80}{7})^2-2 cdot 16cdot frac{80}{7}cdot frac{4}{5}\ \ KC^2=256+frac{80cdot80}{49}-frac{2cdot16cdot16cdot4}{7}\ \ KC^2=frac{256cdot49+80cdot80-2cdot256cdot7cdot4}{49}\ \ KC^2=frac{256(49-56)+80cdot80}{49}\ \ KC^2=frac{6400-1792}{49}\ \ KC^2=frac{4608}{49}\ \ KC=sqrt{frac{2cdot16^2cdot9}{49} } =frac{48sqrt{2}}{7}cm$

Ответ:

$BC=12cm;BK=frac{60}{7}cm;KC= frac{48sqrt{2}}{7}cm$