Question

Sin 2x<-1/2 помогите решить пожалуйста!!

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) Раскроем синус двойного угла:

$sin(2x) = frac{2tan(x)}{1+tan^{2}(x)}$

2) Сведём неравенство к квадратному.

$frac{2tan(x)}{1+tan^{2}(x)}<-frac{1}{2}$

$2tan(x)<-frac{1+tan^{2}(x)}{2}$

$4tan(x)<-1-tan^{2}(x)$

$tan^{2}(x)+4tan(x)+1<0$

3) Сделаем замену $tan(x)=t$ и найдём корни получившегося уравнения.

$t_{1}=frac{-4-sqrt{16-4}}{2}=frac{-4-2sqrt{3}}{2}=-2-sqrt{3}$

$t_{2}=frac{-4+sqrt{16-4}}{2}=frac{-4+2sqrt{3}}{2}=sqrt{3}-2$

4) Разложим квадратный трёхчлен на множители.

$(t+2+sqrt{3})(t-sqrt{3}+2)<0$

5) Решим первое неравенство:

$tan(x)<-2-sqrt{3}$

$x in (-frac{pi}{2}+pi n;arctan(-2-sqrt{3})+pi n), n in mathbb{Z}$

6) Решим второе неравенство:

$tan(x)<sqrt{3}-2$

$x in (-frac{pi}{2}+pi n;arctan(sqrt{3}-2)+pi n), n in mathbb{Z}$

Общим решением будет объединение этих двух решений.