Question

Дано: ∆ ABC, угол ABC=90 AB=BC=2√2, BD перепендикулярно (ABC), BD=√5 Найти: Sadc

С доказательством по ТТП

Answer 1

ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы, следовательно, равны 45°. Найдём гипотенузу AC из определения синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе). У угла 45° синус равен $frac{sqrt{2}}{2}$.

$frac{BC}{AC}=frac{sqrt{2}}{2}$

$frac{2sqrt{2}}{AC}=frac{sqrt{2}}{2}$

$AC*frac{sqrt{2}}{2}=2sqrt{2}$

$AC=frac{4sqrt{2}}{sqrt{2}}=4$

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. Так как BD перпендикулярна плоскости ABC, то угол ABD = углу CBD = 90°. AB = BC из условия, BD - общая сторона. Значит, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (т.е. по двум сторонам и углу между ними). Значит, AD = DC и треугольник ADC - равнобедренный.

Найдём CD по теореме Пифагора.

$CD=sqrt{(2sqrt{2})^2+(sqrt{5})^2}=sqrt{8+5}=sqrt{13}$

Если BM - высота, то её длина должна определяться по формуле: $BM=frac{AB*BC}{AC}$. Так как в равнобедренном треугольнике высота - это ещё и медиана, и биссектриса, то получим также, что $BM=AM=CM=frac{AC}{2}$ (т.к. высота разобьёт равнобедренный прямоугольный треугольник на два одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника).

$frac{2sqrt{2}*2sqrt{2}}{4}=frac{4}{2}$

Так как 2 = 2, BM - высота, т.е. перпендикулярна стороне AC.

Значит, по теореме о трёх перпендикулярах, DM также будет перпендикулярна AC. Площадь треугольника ADC - это полупроизведение его основания на высоту (т.е. DM).

Найдём DM из треугольника DBM по теореме Пифагора.

$DM=sqrt{2^2+(sqrt{5})^2}=sqrt{4+5}=sqrt{9}=3$

Найдём площадь треугольника ADC.

$S=frac{1}{2}*4*3=6$

Ответ: 6