Дано: ∆ ABC, угол ABC=90 AB=BC=2√2, BD перепендикулярно (ABC), BD=√5 Найти: Sadc
С доказательством по ТТП
![](https://st.uroker.com/files/516/5167e38e8f49b8d82db8b945c01dab5e.jpg)
Ответы
ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы, следовательно, равны 45°. Найдём гипотенузу AC из определения синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе). У угла 45° синус равен .
Рассмотрим треугольники ABD и CBD. Так как BD перпендикулярна плоскости ABC, то угол ABD = углу CBD = 90°. AB = BC из условия, BD - общая сторона. Значит, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (т.е. по двум сторонам и углу между ними). Значит, AD = DC и треугольник ADC - равнобедренный.
Найдём CD по теореме Пифагора.
Если BM - высота, то её длина должна определяться по формуле: . Так как в равнобедренном треугольнике высота - это ещё и медиана, и биссектриса, то получим также, что
(т.к. высота разобьёт равнобедренный прямоугольный треугольник на два одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника).
Так как 2 = 2, BM - высота, т.е. перпендикулярна стороне AC.
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах, DM также будет перпендикулярна AC. Площадь треугольника ADC - это полупроизведение его основания на высоту (т.е. DM).
Найдём DM из треугольника DBM по теореме Пифагора.
Найдём площадь треугольника ADC.
Ответ: 6