Question

Доказать, что 2^n+1 делится нацело на 3 при любом нечетном n

Answer 1

Любой квадрат, неделящийся нацело на 3, при делении на 3 дает остаток 1. Теперь вперед.

Пусть показатель степени n нечетное число, тогда n=2k+1.

$2^n=2^{2k+1}=2*(2^k)^2$

Число $(2^k)^2$ полный квадрат и дает при делении на 3 остаток 1. Поэтому число

$2*(2^k)^2$

при делении на 3 дает в остатке 2, а нужное нам число

$2*(2^k)^2+1$ при делении на 3 дает в остатке 3, то есть делится на 3 нацело, чтд.

Answer 2

при k=1  имеем  2^1+1=3 делится на 3

Пусть при к=2n+1 выполняется 2^(2n+1)+1 делится 3;

покажем, что при к=2(n+1)+1   2^k+1 делится на 3

2^(2(n+1)+1)+1=2^((2n+1)+2)+1=(2^2)*(2^(2n+1))+1=

=(1+3)*2^(2n+1)+1=(2^(2n+1)+1)+3*2^(2n+1)

первое слагаемое делится на 3 по предположению, а второе

содержит множитель 3. Следовательно и сумма делится на 3.

Мы доказали по методу математической индукции.