Question

Проверить, является ли функция аналитичной
f(z) = $e^{2z}$

Answer 1

Функция аналитична, если выполняются условия Коши-Римана:

$left{begin{matrix} frac{partial u}{partial x}=frac{partial v}{partial y} \ \ frac{partial u}{partial y}=-frac{partial v}{partial x}end{matrix}right.$

$f(z)=e^{2z}=e^{2(x+iy)}=e^{2x+2iy}=e^{2x}*e^{i2y}=e^{2x}(cos2y+i sin2y)= \ \ =e^{2x}cos2y+i e^{2x}sin2y \ \ u(x,y)=e^{2x}cos2y; v(x,y)=e^{2x}sin2y$

$frac{partial u}{partial x}=2e^{2x}cos2y \ \ frac{partial v}{partial y}=2e^{2x}cos2y \ \ frac{partial u}{partial y}=-2e^{2x}sin 2y \ \- frac{partial v}{partial x}=-(2e^{2x}sin2y)=-2e^{2x}sin2y$

Условия выполняются, следовательно функция аналитична во всей комплексной плоскости