Question

Помогите решить пример))

1+cos10xcos6x=2cos^2 8x+sin^2 8x

Answer 1

Ответ:

cos(2x) + cos(6x) − cos(8x) = 1

cos(2x) + cos(6x) = 1 + cos(8x)

1) левая часть — по формуле суммы косинусов:

cos(2x) + cos(6x) = 2cos(4x)cos(2x)

2) правая часть — по формуле двойного угла:

1 + cos(8x) = 2cos²(4x)

3) Итак, получаем уравнение

2cos(4x)cos(2x) = 2cos²(4x)

cos(4x)•(cos(2x)−cos(4x)) = 0

4) По формуле разности косинусов,

cos(2x) − cos(4x) = 2sin(3x)sin x

5) итак, окончательно получаем:

cos(4x) • sin x • sin(3x) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Рассматриваем все три варианта:

а) cos(4x) = 0 ⇔ 4x = π/2 + kπ, k∈Z

x = (2k+1)π/8

б) sin x = 0 ⇔ x = nπ, n∈Z

в) но если sin x = 0 (т. е. x = nπ), то sin(3x) = sin(3nπ) = 0 автоматически ⇒ пункт б лишний (входит в число решений п. в) :

sin(3x) = 0, 3x = mπ, x = mπ/3, m∈Z

Рассмотрим случаи возможного пересечения решений пп. а) и в)

(2k+1)π/8 = mπ/3

3(2k+1) = 8m

2(3k+1) + 1 = 2•4m

Слева стоит нечётное число, а справа чётное ⇒ решений нет, т. е. пп. а) и в) не gthtctrf.ncz

⇒ в п. в) можно переобозначить m→k и записать общий

ОТВЕТ: x ∈ {(2k+1)π/8, kπ/3}, k∈Z

Пошаговое объяснение: