Решите все кому не трудно

Приложения:

Ответы

Ответ дал: csharp

Задание 1 (а)

Воспользуемся формулой косинуса разности аргументов:

cos(α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ

cos(93° - 48°) = cos45° = √2/2

Задание 1 (б)

Воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму:

sinα · cosβ = 1/2(sin(α + β) + sin(a - β))

а также формулой преобразования разности в произведение:

$ttdisplaystyle sin(alpha) - sin(beta) = 2sinbigg(frac{alpha - beta}{2}bigg)cosbigg(frac{alpha + beta}{2}bigg)$

sin162° · cos12° + sin12° · cos18° =

1/2 · (sin174° + sin150°) + 1/2 · (sin30° + sin(-6°)) =

1/2 · (sin174° + sin(90° + 60°)) + 1/2 · (1/2 - sin6°) =

1/2 · sin174° + 1/2 · 1/2 + 1/4 - 1/2 · sin6° =

(sin174° - sin6°)/2 + 1/4 + 1/4 =

2 · sin84° · cos90° / 2 + 2/4 =

1/2

Задание 2

3sin²2β · cos²2β =

3sin²2β · (1 - sin²2β) =

3sin²2β - 3sin⁴2β =

3sin²2β · (1 - sin²2β)

Задание 3

Не написано, что именно нужно найти, поэтому нашёл cosα, tgα и ctgα. Если нужно найти sin2α, cos2α, tg2α или ctg2α, то просто воспользуйся формулой двойного угла. Если появится неизвестная запись, типа sin(α ± β), cos(α ± β), tg(α ± β) или ctg(α ± β), то также распиши сумму/разность синуса, косинуса, тангенса или котангенса.

$ttdisplaystyle sin(alpha) = frac{8}{17}\\\cos(alpha) = pmsqrt{1 - sin(alpha)} = pmsqrt{1 - bigg(frac{8}{17}bigg)^2}=pmsqrt{frac{289 - 64}{289}}=frac{15}{17}\\\tg(alpha) = frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{displaystyle frac{8}{17}}{displaystylefrac{15}{17}}=frac{8}{15}\\\ctg(alpha) = frac{1}{tg(alpha)} = frac{15}{8}$

Задание 4

Воспользуемся формулой синуса суммы/разности и косинуса суммы/разности:

$ttdisplaystyle frac{sin(alpha)cdot cos(beta) + cos(alpha)cdot sin(beta) + sin(alpha)cdot cos(beta) - cos(alpha)cdot sin(beta)}{cos(alpha)cdot cos(beta) - sin(alpha)cdot sin(beta) + cos(alpha)cdot cos(beta) + sin(alpha)cdot sin(beta)}=\\\=frac{2sin(alpha)cdot cos(beta)}{2cos(alpha)cdot cos(beta)} = tg(alpha)$

Задание 5

$ttdisplaystyle ctg(alpha) = frac{2sqrt{3}}{3}implies tg(alpha) = frac{3}{2sqrt{3}}=frac{3sqrt{3}}{6}=frac{sqrt{3}}{2}\\\tg^2(alpha) + 1 = frac{1}{cos^2(alpha)}\\\frac{3}{4} + 1 = frac{1}{cos^2{alpha}}\\\frac{7}{4}=frac{1}{cos^2{alpha}}\\\cos^2(alpha)=frac{4}{7}implies boxed{tt cos(alpha) = frac{2sqrt{7}}{7}}\\\$

$ttdisplaystyle sin(alpha) = sqrt{1 - bigg(frac{2sqrt{7}}{7}bigg)^2}=sqrt{1 - frac{4cdot 7}{49}} = frac{sqrt{21}}{7}\\\cosbigg(frac{pi}{3}+2alphabigg) = cosfrac{pi}{3}cdot cos(2alpha) - sinfrac{pi}{3}cdot sin(2alpha)=frac{1}{2}cdot cos(2alpha) -frac{sqrt{3}}{2}cdot sin(2alpha) =\\\= frac{cos(2alpha) - sqrt{3}cdot sin(2alpha)}{2}=frac{cos^2(alpha) - sin^2(alpha) - sqrt{3}cdot2cdot sin(alpha)cdot cos(alpha)}{2}=\\\$