Question

Напиши уравнение окружности, которая проходит через точку 5 на оси Ox и через точку 7 на оси Oy , если известно, что центр находится на оси Oy . (Рассчитай в дробях и дроби запиши не сокращёнными)

Answer 1

Рассмотрим треуг. boa. угол а = 90 oa = 7-R, ab=5, ob=R Тогда по теореме пифагора R^{2} =(7-R)^{2}+25 14R=74 R=74/14; значит ao = 7-74/14 = 12/7; а значит уравнение будет иметь вид x^{2} +(y-12/7)^2= (74/14)^2 .

Answer 2

Пусть точка C(0, m) - центр окружности (так как по условию центр лежит на оси OY, то первая координата равна 0)

Известно, что расстояние от центра до любой точки на окружности является константой и равно радиусу R окружности

Наша окружность проходит через точку 7 на оси OY, значит R = 7 - m

Также окружность проходит через точку 5 на оси OX, значит по теореме Пифагора $R = sqrt{m^2+25}$

Приравняем это и получим уравнение:

$7 - m = sqrt{m^2+25}$

Возвёдём в квадрат и решим уравнение:

$(7-m)^2 = (sqrt{m^2+25})^2\\49 - 14m + m^2 = m^2 +25\\14m = 49 - 25\14m = 24\\m = frac{24}{14} = frac{12}{7}$

Координата центра окружности  -   $C(0,;frac{12}{7})$

Радиус окружности: $R = 7 -m = 7 - frac{12}{7} = frac{49-12}{7} = frac{37}{7}$

Уравнение окружности выглядит следующим:

$(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$

Подставим наши числа:

$(x - 0)^2 + (y - frac{12}{7})^2 = (frac{37}{7})^2 \\x^2 + (y - frac{12}{7})^2 = frac{1369}{49}$

Ответ: $x^2 + (y - frac{12}{7})^2 = frac{1369}{49}$