Question

1,10 и 13 члены арифметической прогрессии взятые в данном порядке, образуют убывающую геометрическую прогрессию. Известно, что 5-й член арифметической прогрессии равен 38. Найдите сумму первых 15-и членов этой прогрессии.

Answer 1

а₅ = 38  ⇒   а₁ + 4d = 38   ⇒  a₁ = 38 - 4d

По свойству геометрической прогрессии:

$tt {a_{10}}^2=a_1cdot a_{13}\\ (a_1+9d)^2=a_1(a_1+12d)\\ {a_1}^2+18a_1d+81d^2={a_1}^2+12a_1d\\81d^2+6a_1d=0\\81d^2+6d(38-4d)=0\\ 81d^2+228d-24d^2=0\\ 57d^2+228d=0 |:57\\ d^2+4d=0\\ d(d+4)=0\\1) d=0 O\\2) d+4=0\{} bold{d=-4}\\\ a_1=38-4d=38-4(-4)=38+16=54\\\ S_{15}=cfrac{2a_1+d(n-1)}{2}cdot n= cfrac{2cdot54+(-4)(15-1)}{2}cdot 15=390$

Ответ: 390