Question

Найти неопределенный интеграл и проверить результат дифференцированием

Answer 1

$1); ; int frac{dx}{5x^2+3}=frac{1}{sqrt5}int frac{sqrt5, dx}{(sqrt5x)^2+(sqrt3)^2}=frac{1}{sqrt5}cdot frac{1}{sqrt3}cdot arctgfrac{sqrt5x}{sqrt3}+C; ;\\(frac{1}{sqrt{5cdot 3}}cdot arctgfrac{sqrt5x}{sqrt3}+C)'=frac{1}{sqrt{5cdot 3}} cdot frac{1}{sqrt{1+frac{5x^2}{3}}}cdot frac{sqrt5}{sqrt3}=frac{1}{sqrt3}cdot frac{sqrt3}{sqrt{3+5x^2}}=frac{1}{5x^2+3}$

$2); ; int e^{cosx}cdot sinx, dx=[; t=cosx,; dt=-sinx, dx; ]=\\=-int e^{t}cdot dt=-e^{t}+C=-e^{cosx}+C; ;\\(-e^{cosx}+C)'=-e^{cosx}cdot (cosx)'=-e^{cosx}cdot (-sinx)=e^{cosx}cdot sinx\\3); ; int frac{dx}{x(ln^2x-1)}=[; t=lnx,; dt=frac{dx}{x}; ]=int frac{dt}{t^2-1}=frac{1}{2}cdot lnBig |frac{t-1}{t+1}Big |+C=\\=frac{1}{2}cdot lnBig |frac{lnx-1}{lnx+1}Big |+C; ;$

$Big (frac{1}{2}cdot lnBig |frac{lnx-1}{lnx+1}Big |+CBig )'=frac{1}{2}cdot frac{lnx+1}{lnx-1}cdot frac{frac{1}{x}(lnx+1)-frac{1}{x}(lnx-1)}{(lnx+1)^2}=\\=frac{lnx+1}{2cdot (lnx-1)}cdot frac{lnx+1-lnx+1}{xcdot (lnx+1)^2}=frac{1}{xcdot (lnx-1)(lnx+1)}=frac{1}{xcdot (ln^2x-1)}$