Question

Определить, при каких значений х три числа
$lg2$
,
$lg(3^{x} - 3)$
и
$lg( {3}^{x} + 9 )$
взятые в заданной последовательности, образуют арифметическую прогрессию.​

Answer 1

lg2; lg(3ˣ-3); lg(3ˣ+9)

lg(3ˣ+9)-lg(3ˣ-3)=lg(3ˣ-3)-lg2

lg((3ˣ+9)/(3ˣ-3))=lg((3ˣ-3)/2)

(3ˣ+9)/(3ˣ-3)=(3ˣ-3)/2

2*(3ˣ+9)=(3ˣ-3)²

2*3ˣ+18=3²ˣ-6*3ˣ+9

3²ˣ-8*3ˣ-9=0

Пусть 3ˣ=t>0    ⇒

t²-8t-9=0    D=100     √D=10

t₁=9       t₂=-1  ∉        ⇒

3ˣ =9

3ˣ=3²

x=2.

Ответ: x=2.