Question

На вопрос о количестве участников командного соревнования по ма-тематике председатель оргкомитета ответил, что приняло участие 55 человек, из которых 13 девушек, а председатель жюри сказал, что участников всего 31 и среди них 24 юноши. Как это может быть и сколько всего участников?

Answer 1

Ответы даны в различных системах счисления.

1) Числа 55 и 13 даны в $x$-ичной системе счисления:

$55_x$ и $13_x$

Максимальная цифра данных чисел - 5, значит, система счисления может содержать не менее 6 цифр (от 1 до 5 и 0), это означает, что оно может быть записано в шестиричной и выше системах счисления.

Получаем ОДЗ для х.  => x≥6

2) Аналогично для  чисел 31 и 24, которые даны в $y$-ичной системе счисления:

$31_y$ и $24_y$

Максимальная цифра данных чисел - 4, значит, система счисления может содержать не менее 4 цифр (от 1 до 4 и 0), это означает, что оно может быть записано в пятиричной и выше системах счисления.

Получаем ОДЗ для у.  => у≥5

3) Берем числа   $55_x$  и $31_y$ , обозначающие одну и ту же величину.

$55_x$ = $31_y$

Получаем уравнение:

$5x+5=3y+1$

$5x=3y+1-5$

$5x=3y-4$

$x=frac{3x-4}{5}$

А далее методом подбора, учитывая ОДЗ x≥6 и у≥5; x;y-целые числа.

$y=5=>x=frac{3*5-4}{5}=frac{11}{5}=2,2$ не удовлетворяет ОДЗ

$y=6=>x=frac{3*6-4}{5}=frac{14}{5}=2,8$ не удовлетворяет ОДЗ

..............................................................................

$y=13=>x=frac{3*13-4}{5}=frac{39-5}{5}=frac{35}{5}=7$

Получаем

$55_7=31_{13}$

4) $55_7$=5*7+5=40

   $31_{13}$=3*13+1=40

Всего 40 участников.