Question

воздушный пузырь всплывает в озере. радиус пузыря на глубине 70 м - 1 мм. каким станет радиус пузыря возде поверхности воды если его температура одинакова на всех глубинах?

Answer 1

• Поскольку температура одинакова ($T=mathrm{const}$), то по закону Бойля-Мариотта для газа внутри пузыря выполняется условие $pV=mathrm{const}$
• Обозначим положение $1$ пузыря его положением на глубине $h$, а положением $2$ - его положение у поверхности воды
• На глубине на пузырь будет действовать атмосферное давление $p_0$ с давлением столба жидкости плотностью $rho$

$p_1=p_0+rho gh$

• На поверхности же на пузырь давит только атмосферное

$p_2=p_0$

• На глубине пузырь имел радиус $r$, а на поверхности будет иметь $R$

$V_1=dfrac{4}{3}pi r^3bigskip\V_2=dfrac{4}{3}pi R^3$

• Воспользуемся полученным ранее условием $pV=mathrm{const}$

$p_1 V_1=p_2 V_2, ,medskip\left(p_0+rho ghright)dfrac{4}{3}pi r^3=p_0cdotdfrac{4}{3}pi R^3, ,medskip\ R=rsqrt[3]{dfrac{p_0+rho g h}{p_0}}$

• Подставим значения и найдём численный ответ

$R=1,mathrm{mm}cdotsqrt[3]{dfrac{10^5,mathrm{Pa}+7cdot 10^5,mathrm{Pa}}{10^5,mathrm{Pa}}}=1,mathrm{mm}cdotsqrt[3]{8}=2,mathrm{mm}$

Ответ. $2,mathrm{mm}$