Question

Доказать равенство lim 13n n→∞ =0 с какого N члены последовательности отличаются от предела (0) меньше чем на 1100

Answer 1

Зная определение предела последовательности, укажем тот самый номер $N$ с которого выполняется неравенство $|1/(3n)|<epsilon$. Таким номером, очевидно, является $N=[1/epsilon]$ (где [...] - целая часть числа)

т.е.

$forall epsilon>0 ; exists N=[1/epsilon] in mathbb {N} :forall n>N ; |1/(3n)|<epsilon$

Если есть сомнения, можете проверить это утверждение непосредственным вычислением

Пусть $epsilon =1/4$ тогда $N=4$ и следовательно $1/(3*5)<1/4; 1/(3*6)<1/4$ и т.п.

С какого N члены последовательности отличаются от величины предела меньше чем на 1/100?

$epsilon=1/100, |1/(3n)|<1/100$

из неравенства находим

$n>100/3 approx 33.3$

значит $N=33$

и при всех $n>33$ (т.е. с 34-го члена) члены последовательности отличаются от нуля меньше чем на 1/100