Question

Сможете решить все кроме 3
Пожалуйста , помогите

Answer 1

$1); ; (x^2-1)y'+2xy^2=0; ; ;;; y(0)=1\\y'=-frac{2xy^2}{x^2-1}; ; ,; ; int frac{dy}{y^2}=-int frac{2x, dx}{x^2-1}; ; ,; ; frac{y^{-1}}{-1}=-ln|x^2-1|+C; ; ,\\frac{1}{y}=ln|x^2-1|+C\\y(0)=1:; ; 1=ln|-1|+C; ,; ; 1=underbrace {ln1}_{0}+C; ,; ; C=1\\frac{1}{y}=ln|x^2-1|+1; ; Rightarrow ; ; y=frac{1}{1+ln|x^2-1|}$

$2); ; (x+2y), dx-x, dy=0\\frac{dy}{dx}=frac{x+2y}{x}; ; ,; ; y'=1+2cdot frac{y}{x}\\u=frac{y}{x}; ,; ; y=ux; ,; ; y'=u'x+u\\u'x+u=1+2u; ; ,; ; u'x=1+u; ; ,; ; frac{du}{dx}=frac{1+u}{x}\\int frac{du}{1+u}=int frac{dx}{x}; ; Rightarrow ; ; ln|1+u|=ln|x|+lnC\\1+frac{y}{x}=Cx; ,; ; frac{y}{x}=Cx-1; ; Rightarrow ; ; underline {y=xcdot (Cx-1)}$

$4); ; 2y''-5y'+2y=0; ; ;; ; y(0)=1; ,; y'(0)=2\\2k^2-5k+2=0; ,; ; D=25-16=9; ,; ; k_1=2; ,; k_2=frac{1}{2}\\underline {y_{obshee}=C_1cdot e^{2x}+C_2cdot e^{frac{x}{2}}}\\y(0)=1:; ; 1=C_1+C_2\\y'(x)=C_1cdot 2e^{2x}+C_2cdot frac{1}{2}cdot e^{frac{x}{2}}\\y'(0)=2:; ; 2=2C_1+frac{1}{2}C_2; ,; ; 4C_1+C_2=4; ,\\left { {{C_1+C_2=1} atop {4C_1+C_2=4}} right. ; ominus ; left { {{C_1+C_2=1} atop {3C_1=3}} right. ; ; left { {{C_2=0} atop {C_1=1}} right.\\underline {y_{chastnoe}=e^{2x}}$

$5); ; 2y'-frac{x}{y}=frac{xy}{x^2-1}; ; Big |cdot y\\2yy'-x=frac{xy^2}{x^2-1}\\Zamena:; ; z=y^2; ; to ; ; z'=2yy'; ; Rightarrow ; ; ; z'-x=frac{xz}{x^2-1}; ,\\z'-frac{x}{x^2-1}cdot z=x\\z=uv; ,; ; z'=u'v+uv'\\u'v+uv'-frac{x}{x^2-1}cdot uv=x\\u'v+ucdot (v'-frac{x}{x^2-1})=x; ; Rightarrow ; ; left { {{v'-frac{x}{x^2-1}=0} atop {xu'v=x}} right.\\a); ; frac{dv}{dx}=frac{x}{x^2-1}; ; ,; ; int frac{dv}{v}=frac{1}{2}int frac{2x, dx}{x^2-1}; ; ,qquad ; Big [Big ; int frac{dt}{t}=ln|t|+C; ]\\ln|v|=frac{1}{2}cdot ln|x^2-1|$

$v=sqrt{x^2-1}\\b); ; u'cdot sqrt{x^2-1}=x\\frac{du}{dx}=frac{x}{sqrt{x^2-1}}; ; ,; ; int du=frac{1}{2}int frac{2x, dx}{sqrt{x^2-1}}; ; ; ; ; ; Big [; int frac{dt}{sqrt{t}}=2sqrt{t}+C; Big ]\\u=frac{1}{2}cdot 2sqrt{x^2-1}+C=sqrt{x^2-1}+C\\c); ; z=uv=sqrt{x^2-1}cdot (sqrt{x^2-1}+C)\\underline {y^2=x^2-1+Ccdot sqrt{x^2-1}}$