Question

Решите уравнение
cos(x)+cos²(x)+cos³(x)+sin³(x)-sin²(x)-sin(x)=0


Или докажите что 2+cos(x)-sin(x)-sin(x)cos(x)=0 не имеет решений в действительных числах​

Answer 1

В условии задачи опечатка:

cosx + cos²x + cos³x + sin³x - sin²x + sinx = 0

cos²x - sin²x = (cosx - sinx)(cosx + sinx)

cos³x + sin³x = (cosx + sinx)(cos²x - cosx•sinx + sin²x) = (cosx + sinx)(1 - cosx•sinx)

cosx + sinx + cos³x + sin³x + cos²x - sin²x = (cosx + sinx)(1 + 1 - sinx•cosx - sinx + cosx) = 0

1) cosx + sinx = 0  ║: cosx ≠ 0

1 + tgx = 0  ⇔  tgx = - 1  ⇔  x = (-π/4) + πn, n ∈ Z

2) 2 - sinx•cosx - sinx + cosx = 0

1 + (1 - sinx) + cosx(1 - sinx) = 0

(1 + cosx)(1 - sinx) = - 1

Анализ первой скобки: - 1 ≤ cosx ≤ 1  ⇔  0 ≤ 1 + cosx ≤ 2

Анализ второй скобки: - 1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ - 1 ≤ - sinx ≤ 1 ⇔ 0 ≤ sinx ≤ 2

Произведение неотрицательных чисел есть число неотрицательное. Значит, корней нет ⇒ ∅  

ОТВЕТ: (-π/4) + πn , n ∈ Z