Ответы
1) Задача решается с применением теоремы Пифагора.
Из прямоугольного треугольников АВС найдем диагонали прямоугольника.
АС=√(6²+8²)=10 см
Т.к., диагонали прямоугольника равны, и точкой пересечения делятся пополам, то АО=ВО=СО=ДО=АС/2=5 см
Расстояния от точки К до вершин прямоугольника АВСД тоже равны, т.к. треугольники ΔАОК=ΔВОК=ΔСОК=ΔДОК (по двум сторонам и углу между ними)
Поэтому, КА=КВ=КС=КД=√(5²+12²)=√169=13 см
Ответ: расстояния КА=КВ=КС=КД=13 см
2) Рассмотрим рисунок. Угол между плоскостями треугольников АВС и АSD равен углу между их высотами BD и SD.
Известно, что пересечение высот правильного треугольника - это центр вписанной окружности. В данном случае, радиус этой окружности лежит на высоте BD и равен катету DO прямоугольного ΔSOD.
Найдем радиус вписанной в ΔАВС окружности: r=DO=(a·√3)÷6=6·√3÷6=√3 см.
Тогда ∠SDO=arctg (SO/DO)=arctg(4/√3)
≈66.6°
Ответ: arctg(4/√3)
3) Рассмотрим рисунок. Искомый угол - это угол между диагональю куба АС₁ и диагональю основания АС. Эти отрезки являются сторонами прямоугольного треугольника АСС₁, где АС₁-гипотенуза, АС и СС₁ - катеты.
Найдем АС, как гипотенузу ΔАВС. АС=√(2·АВ²)=√6 см
Тогда из прямоугольного ΔАСС₁ ∠САС₁=arctg (СС₁/АС)=arctg(√3/√6)=arctg (1/√2)
≈35.3°
Ответ: arctg (1/√2)
