Question

Докажите, функция f(x) является возрастающей
$y=frac{x-1}{x+1}$

По алгоритму
1)Область определения
2)Производная функции
3)Решить неравенство $f'(x) textgreater 0$
4)Найти промежутки возрастания и убывания

Answer 1

$displaystyle f(x)=frac{x-1}{x+1}$

1) На 0 делить нельзя, область определения:

$x+1neq 0\xneq-1\boxed{xin(-infty;-1)text{U}(-1;+infty)}$

$displaystyle 2)quad f'(x)=frac{(x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)'}{(x+1)^2}=frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\\\=frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=boxed{frac{2}{(x+1)^2}}$

$displaystyle 3)quad frac{2}{(x+1)^2}>0\\underline{quadquad+quadquad-1quadquad+quadquad}\\boxed{xin(-infty;-1)text{U}(-1;+infty)}$

4) Промежутки возрастания функции: $boxed{xin(-infty;-1)text{U}(-1;+infty)}$

Промежутков убывания нет.

Функция возрастает на всей области определения, следовательно является возрастающей. (Доказано)