Question

Решите неравенство с модулем

Answer 1

$displaystyle frac{|x+3|+x}{x+2}>1$

раскроем модуль на промежутках

|x+3|=0; x= -3

___________ -3 ___________

  -x-3                         x+3

1) x≥ -3

$displaystyle frac{x+3+x}{x+2}>1\\frac{2x+3-(x+2)}{x+2}>0\\frac{x+1}{x+2}>0$

____+____-2___-____-1__+_______

\\\\\\\\                       \\\\\\\\

С учетом условия [-3;-2)∪(-1;+oo)

2) x< -3

$displaystyle frac{-x-3+x}{x+2}>1\\frac{-3-(x+2)}{x+2}>0\\frac{-(x+5)}{x+2}>0$

 ___-_____ -5 ____+_____-2___-__

С учетом условия (-5;-3)

объединяем два ответа: (-5;-2)∪(-1;+оо)

Answer 2

$frac{|x+3|+x}{x+2} >1$   ⇔   $frac{|x+3|-2}{x+2} >0$  ( 1 )

умножая обе части  ( 1 )  на положительную при всех х величину

| x+3| +2  ,   получим :    $frac{x^{2}+6x+5 }{x+2} >0$   или :

$frac{(x+1)(x+5)}{x+2} >0$

-----------------+++++++++-----------++++++++

                  -5             -2            -1

Ответ : ( -5 ; -2) ∪ ( -1 ; +∞)