Question

Доказать, что число N = 11 ... 122 ... 2 (где k единиц и k двоек) является произведением двух последовательных натуральных чисел.

Answer 1

$N=11...122...2=(10^{2k-1}+...+10^{k})+2cdot(10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0)$

1)

$10^{2k-1}+...+10^{k}$

$a_1=10^{2k-1}$

$a_2=10^{2k-2}$

...

$a_k=10^{k}$

$q=frac{10^{2k-2}}{10^{2k-1}}=10^{-1}$

$S_{k1}=frac{qa_k-a_1}{q-1}=frac{10^{-1}cdot10^k-10^{2k-1}}{10^{-1}-1}=frac{10^{-1}cdot10^k-10^{2k}cdot10^{-1}}{ frac{1}{10} -1}=$

$frac{10^{-1}cdot(10^k-10^{2k})}{ frac{9}{10}}=frac{ frac{1}{10} cdot(10^k-10^{2k})}{- frac{9}{10}}=frac{10^{2k}-10^{k}}{ 9}$

2)

$10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0$

$b_1=10^{k-1}$

$b_2=10^{k-2}$

...

$b_{k}=1$

$q= frac{10^{k-2}}{10^{k-1}}=10^{-1}$

$S_{k2}=frac{qb_k-b_1}{q-1}=frac{10^{-1}cdot1-10^{k-1}}{10^{-1}-1}=$

$frac{10^{-1}cdot1-10^{k}cdot10^{-1}}{ frac{1}{10} -1}=frac{10^{-1}cdot(1-10^{k})}{- frac{9}{10}}=$

$frac{ frac{1}{10} cdot(1-10^{k})}{- frac{9}{10}}=frac{ 10^{k}-1}{9}$

============================

$N=11...122...2=(10^{2k-1}+...+10^{k})+2cdot(10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0)=$

$frac{10^{2k}-10^{k}}{ 9}+2cdotfrac{ 10^{k}-1}{9}= frac{10^{2k}+10^k-2}{9}=$

$frac{10^{2k}}{9}+frac{10^k}{9}-frac{2}{9}=$

$frac{10^{2k}}{9}-2cdotfrac{10^k}{9}+frac{1}{9}+3cdotfrac{10^k}{9}- frac{3}{9} =$

$left( frac{10^k}{3}- frac{1}{3} right) ^2+3left(frac{10^k}{9}- frac{1}{3} right) =$

$left( frac{10^k}{3}- frac{1}{3} right) ^2+left(frac{10^k}{3}- frac{1}{3} right) =$

$left(frac{10^k}{3}- frac{1}{3} right)cdotleft( frac{10^k}{3}- frac{1}{3}+1right)=n(n+1)$

$n=frac{10^k}{3}- frac{1}{3}$