Question

Постройте график функции:у=(1-x^2)-(x^2-2)^2

Answer 1

$y=(1-x^2)-(x^2-2)^2\y=1-x^2-(x^4-4x^2+4)\y=-x^4+3x^2-3\x^2=a\y=-a^2+3a-3;\y=-(a^2-2*3a/2+(3/2)^2-(3/2)^2)-3\y=-(a-3/2)^2+9/4-3\y=-(x^2-3/2)^2-3/4\y=-(x+sqrt{frac{3}{2}})^2(x-sqrt{frac{3}{2}})^2-0.75\y'=-2(x+sqrt{frac{3}{2}})*(x-sqrt{frac{3}{2}})^2-2(x+sqrt{frac{3}{2}})^2*(x-sqrt{frac{3}{2}})$

Найдём точки экстремумов.

$-2(x+sqrt{frac{3}{2}})*(x-sqrt{frac{3}{2}})^2-2(x+sqrt{frac{3}{2}})^2*(x-sqrt{frac{3}{2}})=0\-2(x+sqrt{frac{3}{2}})(x-sqrt{frac{3}{2}})((x-sqrt{frac{3}{2}})+(x+sqrt{frac{3}{2}}))=0\(x+sqrt{frac{3}{2}})(x-sqrt{frac{3}{2}})2x=0\left[begin{array}{ccc}x=0\x=-sqrt{frac{3}{2}}\x=sqrt{frac{3}{2}}end{array}$

Поймём где что, как.

$y'=-4x(x+sqrt{frac{3}{2}})(x-sqrt{frac{3}{2}})\x>sqrt{frac{3}{2}}\-*+*+*+=-$

Функция убывает.

$y'=-4x(x+sqrt{frac{3}{2}})(x-sqrt{frac{3}{2}})\0<x<sqrt{frac{3}{2}}\-*+*+*-=+$ Возрастает.

$y'=-4x(x+sqrt{frac{3}{2}})(x-sqrt{frac{3}{2}})\-sqrt{frac{3}{2}}<x<0\-*-*+*-=-$ Убывает.

$y'=-4x(x+sqrt{frac{3}{2}})(x-sqrt{frac{3}{2}})\x<-sqrt{frac{3}{2}}\-*-*-*-=+$ Возрастает.

$y=-(x+sqrt{frac{3}{2}})^2(x-sqrt{frac{3}{2}})^2-0.75$

Переменная, (+-) что-то в квадрате, значит функция будет расти и убывать достаточно быстро.

Найдём координаты точек экстремума по оси у.

$x=бsqrt{frac{3}{2}}\y=-0.75$

Точки максимума: $(-sqrt{frac{3}{2}};-0.75)+and+(sqrt{frac{3}{2}};-0.75)$

Найдём координаты точки минимума.

$x=0\y=-(0+sqrt{frac{3}{2}})^2(0-sqrt{frac{3}{2}})^2-0.75=\-frac{3*3}{2*2}-0.75=\ -2.25-0.75=-3$

Есть координаты всех точке экстремумов, можем строить.