Question

ДУ пожалуйста помогите!!

Answer 1

Ответ:

y = x²

Пошаговое объяснение:

xy' - y - x² = 0             y(2) = 4

Разделим обе части уравнения на х

$y' -frac{y}{x} =x$

Получили линейное уравнение первого порядка

Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций

$y=u(x)cdot v(x)$

Дифференцируя обе части равенства находим

$frac{du}{dx}=ufrac{dv}{dx}+vfrac{du}{dx}$

Подставляем в дифференциальное уравнение

$ufrac{dv}{dx}+vfrac{du}{dx}-frac{ucdot v}{x}=x$          

или

$u(frac{dv}{dx}- frac{v}{x})+ vfrac{du}{dx}=x$

Выберем функцию v(x) такой, что

$frac{dv}{dx}- frac{v}{x} = 0$

$frac{dv}{dx}= frac{v}{x}$

$frac{dv}{v}= frac{dx}{x}$

Интегрируя , получаем

$intlimitsfrac{dv}{v}=intlimitsfrac{dx}{x}$

ln|v| = ln|x|+ln|C|

v = Cx

Так нам достаточно какого либо отличного от нуля решения то за функцию v(x) возьмем

v(x) = x

Подставляем найденное значение в уравнение

$u(frac{dv}{dx}- frac{v}{x})+ vfrac{du}{dx}=x$

$u(frac{dx}{dx}- frac{x}{x})+ xfrac{du}{dx}=x$

$xfrac{du}{dx}=x$

du = dx

Интегрируя, получим

$intlimits du = intlimits dx$

u = x + С

Окончательно получаем

y = uv = x(x + C) = x² + Cx

Проверка:

xy' - y - x² = 0

x(2x + C) - x² - Cx - x² = 2x² + Cx - 2x² - Cx = 0

Константу С найдем из начальных условий y(2) = 4

2² + 2С = 4

        С = 0

Следовательно частное решение диф.уравнения   y = x²