Question

70 баллов. Решить систему линейных уравнений тремя способами: 1) по формулам Крамера;
2) средствами матричного исчисления; 3) методом Гаусса.

Answer 1

$1); ; Delta =left|begin{array}{ccc}1&-1&1\2&1&1\1&1&2end{array}right|=(2-1)+(4-1)+(2-1)=5ne 0\\\Delta _1=left|begin{array}{ccc}5&-1&1\6&1&1\4&1&2end{array}right|=5(2-1)+(12-4)+(6-4)=15\\\Delta _2=left|begin{array}{ccc}1&5&1\2&6&1\1&4&2end{array}right|=(12-4)-5(4-1)+(8-6)=-5\\\Delta _3=left|begin{array}{ccc}1&-1&5\2&1&6\1&1&4end{array}right|=(4-6)+(8-6)+5(2-1)=5\\\x_1=frac{15}{5}=3; ; ,; ; x_2=frac{-5}{5}=-1; ; ,; ; x_3=frac{5}{5}=1$

$2); ; Delta =5ne 0\\A_{11}=2-1=1; ,; ; A_{12}=-(4-1)=-3; ,; A_13}=2-1=1\\A_{21}=-(-2-1)=3; ,; A_{22}=2-1=1; ,; A_{23}=-(1+1)=-2\\A_{31}=-1-1=-2; ,; A_{32}=-(1-2)=1; ,; A_{33}=1+2=3\\A^{-1}=frac{1}{5}cdot left(begin{array}{ccc}1&3&-2\-3&1&1\1&-2&3end{array}right)cdot left(begin{array}{c}5\6\4end{array}right)=frac{1}{5}cdot left(begin{array}{c}15\-5\5end{array}right)=left(begin{array}{c}3\-1\1end{array}right)$

$3); ; left(begin{array}{rrrr}1&-1&1&|, 5\2&1&1&|, 6\1&1&2&|, 4end{array}right)sim left(begin{array}{rrrr}1&-1&1&|; ; ; 5\0&3&-1&|-4\0&2&1&|-1end{array}right)sim \\\sim left(begin{array}{rrrr}1&-1&1&|; ; ; 5\0&3&-1&|-4\0&0&5&|; ; ; 5end{array}right)\\\left{begin{array}{ccc}x_1-x_2+x_3=5\; ; ; 3x_2-x_3=-4\; ; quad 5x_3=5end{array}right; ; left{begin{array}{ccc}x_1=5-1+x_2\3x_2=-4+1\x_3=1end{array}right; ;left{begin{array}{ccc}x_1=3\x_2=-1\x_3=1end{array}right$