Question

Отрезки АВ, ВС и АД имеют одинаковую длину и точка Д лежит на отрезке ВС. Докажите, что серединный перпендикуляр к ДС, биссектриса угла АДС и прямая АС проходят через одну точку​

Answer 1

∆АНВ ~ ∆CPE (по острому углу <A = <C в равнобедренном ∆АВС) =>

<CEP = <ABH.

<ABH = <CBH = <DBH. (ВН - высота, медиана и биссектриса).

<CDA+<ADB = 180° (смежные) =>  

<CDA+<DBA  = 2<CDE+2<DBH =180°  =>  <CDE+<DBH = 90°.

<CDE= 90 - <DBH = 90 - <ABH. Но <ABH = <CEP (показано выше).

Тогда <CDE =90 - <CEP  или <CEP = 90  - <CDE.  

В прямоугольном треугольнике PDE

PED = 90 - <CDE   =>

<CEP = <PED и треугольник СED - равнобедренный, где ЕР и высота, и медиана, и биссектриса.

Следовательно, точка Е - пересечение прямых АС, ЕР и DE, что и требовалось доказать.