Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной заданными линиями 3y^2=25x, 5x^2=9y. (График и решение). Помогите пожалуйста.

Answer 1

Даны уравнения: 3y^2=25x, 5x^2=9y.

Выразим их относительно у: y=5√x/√3,  y = 5x^2/9.

Чтобы определить границы заданной фигуры, надо приравнять правые части полученных уравнений:

5√x/√3 = 5x^2/9. Сократим на 5: √x/√3 = x^2/9. Возведём обе части в квадрат: х/3 = х^4/81 или 81х = 3x^4. Сократим на 3: 27х = x^4.

Перенесём всё влево: 27х - x^4 = 0 или х(27 - x^3) = 0.

Отсюда получаем 2 точки пересечения графиков заданных функций, которые и есть границами фигуры, площадь которой надо определить.

х = 0 и х = ∛27 = 3.

Теперь определяем площадь этой фигуры как интеграл разности:

$S=intlimits^3_0 {frac{5sqrt{x} }{sqrt{3} }-frac{5x^2}{9}} , dx =frac{5x^{3/2}*2}{sqrt{3}*3}-frac{5x^3}{9*3} |_0^3=10-5=5.$