Question

интеграл x(1-x^2) / 1+x^4

Answer 1

$int {frac{x(1-x^2)}{1+x^4}}dx=int{frac{x-x^3}{1+x^4}dx}=int{frac{xdx}{1+x^4}}-int{frac{x^3dx}{1+x^4}}$

Найдём первый интеграл

$int{frac{x}{1+x^4}}dx=begin{vmatrix}x^2=t\dt=2xdx\dx=frac{dt}{2x}end{vmatrix}=frac{1}{2}int{\}frac{dt}{1+t^2}=frac{1}{2}arctan(t)+C=frac{1}{2}arctan(x^2)+C$

Найдем второй интеграл

$int{frac{x^3}{1+x^4}dx}=begin{vmatrix}1+x^4=t\dt=4x^3dx\dx=frac{dt}{4x^3}end{vmatrix}=frac{1}{4}int{frac{dt}{t}}=frac{1}{4}ln(|t|)+C=frac{1}{4}ln(|1+x^4|)+C$}

Объединяя решения

$int {frac{x(1-x^2)}{1+x^4}}dx=frac{1}{2}arctan(x^2)-frac{1}{4}ln(|1+x^4|)+C$