Question

Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 2019.

Answer 1

Замечание: в подобных задачах на принцип Дирихле почти всегда для доказательства делимости на n достаточно рассмотреть набор из n+1 числа и остатки от их делимости на n.

__________________

Так и поступим. Рассмотрим набор из 2020 различных степеней двойки. Каждая из них при делении на 2019 дает один из 2019 остатков: 0, 1, ... 2017 или 2018. Тогда, по Принципу Дирихле, в этом наборе есть по крайней мере два числа, дающих одинаковые остатки при делении на 2019. Пусть первое равно  2019a+r, а второе равно 2019b+r, a,b,r∈N∪{0}, r≤2018. Тогда их разность равна 2019a+r-(2019b+r)=2019(a-b) ⋮ 2019

Доказано.