Question

Решите уравнение..........

Answer 1

а)

$sf (sin^22x+cos^2x)+sqrt{3}(sin2x+cosx)+dfrac{3}{2}=0$

Вводим две замены: sin2x=a; cosx=b.

$sf (a^2+b^2)+sqrt{3}(a+b)+dfrac{3}{2}=0 \ a^2+sqrt{3}a+dfrac{3}{2}+sqrt{3}b+b^2=0 \ D=3-4cdotleft(dfrac{3}{2}+sqrt{3}b+b^2right)=-4b^2-4sqrt{3}b-3=-(2b+sqrt{3})^2$

Значение выражения -(2b+√3)²≤0 при любых b. Уравнение имеет решения только при 2b+√3=0. Задаем условие:

$sf 2cosx+sqrt{3}=0 \ cosx=-dfrac{sqrt{3}}{2}\ x=pmdfrac{5pi}{6}+2pi k; k in mathbb Z$

Полагая D=0, возвращаемся к уравнению.

$sf a=dfrac{-sqrt{3}}{2} \ sin2x=-dfrac{sqrt{3}}{2} \ left [ begin{array}{I}sf 2x=-dfrac{pi}{3}+2pi k \ sf 2x=dfrac{4pi}{3}+2pi k end{array} Rightarrow left [ begin{array}{I}sf x=-dfrac{pi}{6}+pi k\ sf x=dfrac{2pi}{3}+pi k end{array} end{array}; k in mathbb Z$

Сопоставляя полученное ранее условие и решения, имеем одну серию корней x=5π/6+2πk, которая и будет являться ответом к пункту а).

б)

Загоним серию корней в двойное неравенство.

$sf 2.5pi leq dfrac{5pi}{6}+2pi k leq 5pi \ dfrac{15-5}{6}leq2k leqdfrac{30-5}{6}\ dfrac{5}{6}leq k leq dfrac{25}{12}$

Неравенство имеет целые решения k=1 и k=2. При данных k корни попадут в указанный промежуток.

$sf x_1=dfrac{5pi}{6}+2 pi=dfrac{17pi}{6} \ x_2=dfrac{5pi}{6}+4pi=dfrac{29pi}{6}$

Ответ:  а) x=5π/6+2πk; k∈Z  б) x=17π/6, x=29π/6

Answer 2

тк D=0 фигурирует

Answer 3

Но зачем все было так усложнять?

Answer 4

Да ничего не усложнено. Решение как решение. Придумал я эти две замены, ими и решил.

Answer 5

Если хотите свое решение написать, давайте я задачку выложу повторно.

Answer 6

А смысл? Я 100 раз видел похожую задачу. Эту идею очень любят впихивать в систему уравнений 2 степени с 2 переменными. И думаешь как ее решить. А оказывается если уравнения сложить окажется что можно представить в виде суммы квадратов.