Question

Знайдіть чотири числа, які утворюють арифметичну прогресію та мають таку властивість: якщо від другого числа відняти 2, а до четвертого додати 14, то буде отримано геометричну прогресію

Answer 1

a; a+d; a+2d; a+3d - арифметическая прогрессия

a; a+d-2; a+2d; a+3d+14 -  геометрическая прогрессия, значит квадрат каждого члена прогрессии, начиная со второго,  равен произведению двух соседних

поэтому

(a+d-2)²=a(a+2d)

(a+2d)²=(a+d-2)(a+3d+14)

Решаем систему двух уравнений:

{a²+d²+4+2ad-4a-4d=a²+2ad

{a²+4ad+4d²=a²+ad-2a+3ad+3d²-6d+14a+14d-28

упрощаем

{d²=4a+4d-4

{d²=12a+8d-28⇒

4a+4d-4=12a+8d-28

выражаем d через а

d=6-2a

и подставляем в первое уравнение:

(6-2a)²=4a+4d-4

a²-5a+4=0

a=1  или  a=4

d=4  или  d=-2

и обе прогрессии

при а=1; d=4

1;5;9;13

1;3;9;27

при а=4; d=-2

4; 2; 0; -2

4; 2+2;0; -2+14 - не удовлетворяет смыслу задачи