Question

Найдите корень уравнения

Answer 1

Уравнение

$sinx=a$

имеет корни

$x=(-1)^{k}arcsina+pi k, kin Z, |a|leq 1$

1.

Обозначим

$t=frac{pi(x-3)}{4}$

Уравнение

$sint=frac{sqrt{2}}{2}$

имеет корни

$t=(-1)^{k}arcsinfrac{sqrt{2}}{2} +pi k, kin Z\ \t=(-1)^{k}frac{pi}{4}+pi k, kin Z$

Обратный переход

$frac{pi(x-3) }{4}=(-1)^{k}frac{pi}{4}+pi k, kin Z\ \ x-3=(-1)^{k}+4k,kin Z\ \ x=(-1)^{k}+3+4k,kin Z$

Наименьший положительный  корень при k=0

х=1+3+4·0=4

2.

Обозначим

$t=frac{pi(2x+1)}{4}$

Уравнение

$sint=frac{sqrt{2}}{2}$

имеет корни

$t=(-1)^{k}arcsinfrac{sqrt{2}}{2} +pi k, kin Z\ \t=(-1)^{k}frac{pi}{4}+pi k, kin Z$

Обратный переход

$frac{pi(2x+1) }{4}=(-1)^{k}frac{pi}{4}+pi k, kin Z\ \ 2x+1=(-1)^{k}+4k,kin Z\ \ x=frac{(-1)^{k}-1+4k}{2},kin Z$

Наибольший отрицательный корень  при k=-1  

х=$frac{-1-1-4}{2}$ = -3

3.

Обозначим

$t=frac{pi(8x+5)}{6}$

Уравнение

$sint=frac{sqrt{3}}{2}$

имеет корни

$t=(-1)^{k}arcsinfrac{sqrt{3}}{2} +pi k, kin Z\ \t=(-1)^{k}frac{pi}{3}+pi k, kin Z$

Обратный переход

$frac{pi(8x+5) }{6}=(-1)^{k}frac{pi}{3}+pi k, kin Z\ \ 8x+5=2cdot (-1)^{k}+6k,kin Z\ \ x=frac{1}{8}(2cdot(-1)^{k}-5+6k),kin Z$

Наибольший отрицательный   корень при k=1

х=$-frac{1}{8}$

4.

Обозначим

$t=frac{pi(8x+9)}{3}$

Уравнение

$sint=frac{sqrt{3}}{2}$

имеет корни

$t=(-1)^{k}arcsinfrac{sqrt{3}}{2} +pi k, kin Z\ \t=(-1)^{k}frac{pi}{3}+pi k, kin Z$

Обратный переход

$frac{pi(8x+9)}{3}=(-1)^{k}frac{pi}{3}+pi k, kin Z\ \8x+9=(-1)^{k}+3k,kin Z\ \ x=frac{(-1)^{k}-9+3k}{8},kin Z$

Наименьший положительный  корень  при k=4  

х=$frac{1}{2}$