Question

ОЧЕНЬ НУЖНО СЕЙЧАС! 50 БАЛЛОВ
Докажи, что когда радиус круга, вписанного в правильный восьмиугольник равен r, то радиус круга, описанного около него равен (смотрите вложение)

Answer 1

Для правильного многоугольника справедливо равенство (R - радиус описанной окружности, n - кол-во сторон (или углов) правильного, r -  радиус вписанной окружности):

$R=frac{r}{cos(frac{180}{n}) }$ (180 градусов)

Эта формула выводится в любом учебнике по геометрии за 7-9 класс в теме "Правильные многоугольники"

Подставим значения для этой задачи (n=8):

$R=frac{r}{cos 22.5}$ (22,5 градуса)

Преобразуем выражение:

$frac{2r}{2cos22.5}=frac{2r}{sqrt{(2cos22.5)^{2} }}=frac{2r}{sqrt{2+sqrt{2} } }$

В результате преобразований получили необходимое выражение, что и требовалось доказать.