Question

Ученик в течение семи дней готовился к олимпиаде. Для этого он собирался решать задачи из олимпиадного сборника. В понедельник он решил половину всех задач и ещё одну задачу, во вторник - половину оставшихся задач и ещё две, в среду половину нового остатка и ещё три и тд. В воскресенье - половину оставшихся на этот момент задач и последние семь. Сколько же задач решил ученик?

Answer 1

Ответ:

3584

Пошаговое объяснение:

Пусть в сборнике n задач, тогда:

За 1 день решено: n/2+1

За 2 день решено: n/4+2

За 3 день решено: n/8+3

...

За 7 день решено: n/2^7+7

Сложим решенные за все дни задачи, причём дроби вида n/2^k (k - от 1 до 7) отделим от вторых слагаемых каждого дня:

(n/2+n/4+...+n/256)+(1+2+...+7)=n

Вынесем n из первой скобки:

n*(1/2+1/4+...+1/256)+(1+2+...+7)=n

Первая скобка (без n) - сумма первых семи членов геометрической прогрессии со знаменателем 1/2. $S_{1} = frac{1/2*(1-1/128)}{1-1/2}=127/128$

Вторая скобка - сумма первых семи членов арифметической прогрессии с разностью 1 $S_{2}=frac{1+7}{2}*7=28$

$frac{127}{128}n+28=n\n=3584$