Question

Найдите удвоенное произведение всех корней уравнения
$( sqrt{2x - 2} - sqrt{x + 3} )( sqrt{x + 3} + 3) = x - 5$
​

Answer 1

Домножим обе части уравнения на $sqrt{2x-2}+sqrt{x+3}ne 0$:

$(sqrt{2x-2}+sqrt{x+3})( sqrt{2x - 2}-sqrt{x + 3} )( sqrt{x + 3}+3) =\=(x - 5)(sqrt{2x-2}+sqrt{x+3})$

Первые две скобки можно раскрыть по формуле разности квадратов:

$((2x-2)-(x + 3) )( sqrt{x + 3}+3) =(x - 5)(sqrt{2x-2}+sqrt{x+3})\(x-5)(sqrt{x+3}+3)=(x-5)(sqrt{2x-2}+sqrt{x+3})$

x = 5 – корень последнего полученного уравнения. Поищем другие корни, при x ≠ 5 на x - 5 можно сократить:

$sqrt{x+3}+3=sqrt{2x-2}+sqrt{x+3}\sqrt{2x-2}=3\2x-2=9\2x=11\x=5.5$

Итак, возможные корни уравнения – x = 5 и x = 5.5. Проверкой убеждаемся, что при подстановке каждого из этих значений в исходное уравнение получается верное равенство, так что в ответ пойдет $2cdot(5cdot5.5)=55$

Ответ. 55