Question

розвязати диферінційні рівняння dy/dx+2y=e^x

Answer 1

$dfrac{dy}{dx}+2y=e^x$

Умножим левую и правую части уравнения на $e^{2x}$, получим

$e^{2x}cdot dfrac{dy}{dx}+2e^{2x}y=e^{3x}\ \ e^{2x}cdot dfrac{dy}{dx}+dfrac{d}{dx}left(e^{2x}right)cdot y=e^{3x}$

Как видно, в левой части уравнения это производная произведения двух функций, т.е.

$dfrac{d}{dx}left(e^{2x}cdot yright)=e^{3x}$

Интегрируя обе части уравнения, имеем

$displaystyle e^{2x}cdot y=int e^{3x}dx\ \ e^{2x}cdot y=dfrac{1}{3}cdot e^{3x}+C\ \ \ boxed{y=dfrac{e^x}{3}+Ce^{-2x}}$

Получили общее решение дифференциального уравнения.