1. Сколько сторон имеет правильный выпуклый многоугольник, если внутренний угол его равен 150 градусов.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 30 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
3. В окружность радиусом 16 см. вписан правильный четырёхугольник. Вычислите его периметр.
4. Правильный треугольник со стороной 8 см вписан в окружность. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
5. Правильный треугольник АВС вписан в окружность с центром О и радиусом 10 см. На стороне этого треугольника построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанного около квадрата.
Помогите, пожалуйста, до понедельника. Буду благодарен.
Ответы
1) Пусть в многоугольнике n сторон.
Сумма углов выпуклого n -угольника равна
180°·(n-2)
Но и углов в многоугольнике тоже n, поэтому сумма всех углов равна
150°·n
Приравниваем выражения и получаем уравнение:
180·(n-2) = 150·n
180·n - 360 = 150·n
180·n - 150·n = 360
30·n = 360
n= 12
ответ. 12 сторон.
2) Гипотенуза = корень (катет1 в квадрате + катет2 в квадрате) =
=корень(400+441)=29 =диаметру описанной окружности
радиус = 29/2 =14,5
3) так как правильный четырехугольник - это квадрат, то радиус будет равен половине диагонали квадрата, то есть
a=16/4=4 (сторона квадрата)
d^2=(a^2+a^2) (диагональ)
d=корень из 32=4 умножить на корень из 2
r=2 умножить на корень из 2
4) Диаметр окружности равен стороне квадрата, то есть 8 см, значит радиус окружности 4 см, 2/3 высоты вписанного правильного треугольника равны радиусу окружности
2/3h=4. значит h=6 cм , а h в правильном треугольнике равна а√3/2, где а- сторона правильного треугольника значит
а=2h/√3=2*6/√3=4√3