Question

Исследовать функцию и построить график.

Answer 1

$y=frac{x^3+x^2-x-2}{x^2-x-2} =frac{x^3}{x^2-x-2} +1$

1. Область определения:

$x^2-x-2neq 0\D=1-4(-2)=3^2\xneq frac{-(-1)б3}{2} =0.5б1.5$

x∈(-∞;-1)∪(-1;2)∪(2;+∞)

2. Функция общего вида.

3. Найдём точки пересечения с осями:

$y=frac{x^3+x^2-x-2}{x^2-x-2}=0\x^3+x^2-x-2=0\x=1.2055702...\y(0)=-2/-2=1$

4. Исследование с первой производной:

$y=frac{x^3}{x^2-x-2} +1\y'=frac{3x^2(x^2-x-2)-x^3(2x-1)}{(x^2-x-2)^2}=\ y'=frac{x^2(3x^2-3x-6-2x^2+x)}{(x^2-x-2)^2}=\ y'=frac{x^2(x^2-2x-6)}{(x^2-x-2)^2}=\D=4+24=2^2*7\ y'=frac{x^2(x-(1+sqrt{7} ))(x-(1-sqrt{7}))}{((x+1)(x-2))^2}$

Cм. внизу.

$y(1-sqrt{7} )=frac{(1-sqrt{7} )^3}{(1-sqrt{7})^2-1+sqrt{7}-2}+1=\frac{1-3sqrt{7}+3*7-7sqrt{7} }{(1+7-2sqrt{7}+sqrt{7}-3}+1\frac{22-10sqrt{7}+5-sqrt{7} }{5-sqrt{7}}=\frac{(27-11sqrt{7})(5+sqrt{7} )}{25-7} =\frac{135-28sqrt{7}-77}{18} =\frac{29-14sqrt{7} }{9}$

$y(1+sqrt{7} )=frac{(1+sqrt{7})^3}{(1+sqrt{7})^2-1-sqrt{7}-2} +1=\frac{1+3sqrt{7}+3*7+7sqrt{7} }{1+7+2sqrt{7}-3-sqrt{7} }+1=\frac{22+10sqrt{7}+5+sqrt{7} }{5+sqrt{7}}=\frac{(27+11sqrt{7})(5-sqrt{7})}{25-7}=\frac{135+28sqrt{7}-77}{18}=\frac{29+14sqrt{7}}{9}$

5. Исследование с второй производной:

$y'=frac{x^2(x^2-2x-6)}{(x^2-x-2)^2}\f(x)=x^2(x^2-2x-6)\f'(x)=2x(x^2-2x-6)+x^2(2x-2)=\4x^3-6x^2-12x=2x(2x^2-3x-6)\y''=frac{2x(2x^2-3x-6)(x^2-x-2)^2-x^2(x^2-2x-6)2(x^2-x-2)(2x-1)}{(x^2-x-2)^4}\ y''=frac{2x(x^2-x-2)((2x^2-3x-6)(x^2-x-2)-(x^3-2x^2-6x)(2x-1))}{(x^2-x-2)^4}$

$2x(x^2-x-2)((2x^2-3x-6)(x^2-x-2)-(x^3-2x^2-6x)(2x-1))=\2x(x^2-x-2)(2x^4-2x^3-4x^2-3x^3+3x^2+6x-6x^2+6x+12-(2x^4-x^3-4x^3+2x^2-12x^2+6x)=2x(x^2-x-2)(3x^2+6x+12)\y''=frac{6x(x^2+2x+4)}{((x+1)(x-2))^3}$

Выражение в скобках в числителе всегда положительное и не равняется нулю, см. внизу.

$y(0)=1$

6. Уравнение асимптот:

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: $lim_{xtoinfty}{(kx+b-f(x))}$

Находим коэффициент k: $lim_{xtoinfty}{frac{f(x)}{x}}\lim_{xtoinfty}{frac{frac{x^{3}+x^{2}-x-2}{x^{2}-x-2}}{x}}=lim_{xtoinfty}{frac{x^{3}+x^{2}-x-2}{x^{3}-x^{2}-2x}}=1$

Находим коэффициент b: $lim_{xtoinfty}{f(x)-k*x}\lim_{xtoinfty}{frac{x^{3}+x^{2}-x-2}{x^{2}-x-2}-x}=lim_{xtoinfty }{frac{2*x^{2}+x-2}{x^{2}-x-2}}=2$

Получаем уравнение наклонной асимптоты: у=x+2

Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: $x_1=-1;x_2=2$

Находим переделы в точке x=-1

$lim_{xto-1-0}{frac{x^{3}+x^{2}-x-2}{x^{2}-x-2}}=-infty\lim_{xto-1+0}{frac{x^{3}+x^{2}-x-2}{x^{2}-x-2}} =infty$

Это точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.

Находим переделы в точке x=2

$lim_{xto2-0}{frac{x^{3}+x^{2}-x-2}{x^{2}-x-2}}=-infty\lim_{xto2+0}{frac{x^{3}+x^{2}-x-2}{x^{2}-x-2}}=infty$

Это точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.

Answer 2

А понял

Answer 3

В этой точке функция определенна, наклонная асимптота для тех х, которые стремятся в бесконечность

Answer 4

спасибо

Answer 5

но почему точка пересечения не "черная" ?:)

Answer 6

Потому, что я её не выделил (все серые, когда наводишь чёрные), как бы зачем вам точка пересечения графика с наклонной асимптотой?