Question

Помогите решить линейное однородное дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями y''-10y'+25y=0, y(0)=1,y'(0)=3

Answer 1

Ответ:

Общее решение

 $y=C_1e^{5x}+C_2xe^{5x}$

Частное решение

$y=e^{5x}-2e^{5x}$

Пошаговое объяснение:

линейное однородное дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями

                       y'' - 10y' + 25y = 0,                                y(0)=1,y'(0)=3

Запишем характеристическое уравнение k² - 10 ⋅ k + 25 = 0. Найдем его корни

                       k² - 10 ⋅ k + 25 = 0

                       k² - 2·5⋅ k + 5² = 0

                                    (k - 5)² = 0

                   k₁ = k₂ = 5

Получили два совпадающих корня, следовательно, общее решение имеет вид

              $y=C_1e^{5x}+C_2xe^{5x}$

Для нахождения частного решения найдем производную функции

$y'=5C_1e^{5x}+C_2e^{5x}+5C_2xe^{5x}$

Подставляем начальные условия в функцию и ее производную

$y(0)=C_1e^{5cdot0}+C_2cdot0cdot e^{5cdot0}=C_1$

Из начальных условий у(0) =1

Следовательно С₁ = 1

$y'(0)=5C_1e^{5cdot0}+C_2e^{5cdot0}+5C_2cdot0cdot e^{5cdot0}=5C_1+C_2$

Из начальных условий y'(0)=3

Следовательно  5С₁ +С₂ = 3

                             С₂ = 3 - 5·1

                             С₂ = -2

Запишем частное решение уравнения

$y=e^{5x}-2e^{5x}$