Question

(d^2*z/d*x*d*y)+y((d*z/(d*x)+x(d*z/d*y)+x*y*z=0

z=х*e^-(х^2+y^2/2)

Проверить удовлетворяет ли функция дифференциальному уравнению

Answer 1

$z=xcdot e^{-frac{x^2+y^2}{2}}\\\frac{partial z}{partial x}=e^{-frac{x^2+y^2}{2}}+xcdot e^{-frac{x^2+y^2}{2}}cdot (-frac{1}{2})cdot 2x=e^{-frac{x^2+y^2}{2}}cdot Big (1-x^2Big )\\\frac{partial z}{partial y}=xcdot e^{-frac{x^2+y^2}{2}}cdot (-frac{1}{2})cdot 2y=-xycdot e^{-frac{x^2+y^2}{2}}\\\frac{partial ^2z}{partial xpartial y}=e^{-frac{x^2+y^2}{2}}cdot (-frac{1}{2})cdot 2ycdot (1-x^2)=-e^{-frac{x^2+y^2}{2}}cdot (1-x^2)cdot y$

$frac{partial ^2z}{partial xpartial y}+ycdot frac{partial z}{partial x}+xcdot frac{partial z}{partial y}+xyz=\\=e^{-frac{x^2+y^2}{2}}cdot Big (-(1-x^2)cdot y+ycdot (1-x^2)-x^2yBig )+xycdot x, e^{-frac{x^2+y^2}{2}}=\\=e^{-frac{x^2+y^2}{2}}cdot (-x^2y)+e^{-frac{x^2+y^2}{2}}cdot (x^2y)=0$

Заданная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению.