Question

Высота правильного треугольника равна 9 см. Найти площадь описанного около него круга

Answer 1

Рассмотрим правильный ΔABC

AH = AC/2 = AB/2 (в правильном треугольнике все стороны равны; высота правильного треугольника является его медианой, т. е. делит сторону треугольника на 2 равные части)

Рассмотрим ΔABH: AH = AB/2, BH = 9 см.

По теореме Пифагора

AB² = AH² + BH²

$displaystylett AB^2=Big(frac{AB}{2}Big)^2+9^2\\\AB^2=frac{AB^2}{4}+81\\\AB^2-frac{AB^2}{4}=81\\\frac{4AB^2-AB^2}{4}=81\\\frac{3AB^2}{4}=81\\3AB^2=4cdot81\\3AB^2=324\\\AB^2=frac{324}{3}=108\\AB=sqrt{108}=sqrt{36cdot3} =6sqrt{3}~cm$

Воспользуемся формулой для стороны правильного треугольника

a₃ = R√3, где a₃ - сторона правильного треугольника, R - радиус описанной около него окружности

Подставляем

6√3 = R√3

$displaystylett R=frac{6sqrt{3}}{sqrt{3}}=6~cm$

Формула площади круга:

S = πR², где S - площадь круга, π - число Пи (≈ 3,14), R - радиус круга

Подставляем

S = π * 6² = 36π см²

Ответ: S = 36π см²