Question

Помогите срочно даю 30 балов!!!
В правильный треугольник площадью 36√3 дм² вписан круг. Найти площадь правильного шестиугольника,вписанного в этот круг.

Answer 1

Построим высоту правильного треугольника BH, в который вписана окружность

AH = AC/2 (высота в правильном треугольнике является его медианой, т. е. делит сторону на две равные части)

Рассмотрим ΔABH - прямоугольный

AH = AC/2 = AB/2 (в правильном треугольнике все стороны равны)

По теореме Пифагора выразим катет BH

$displaystylett BH=sqrt{AB^2-Big(frac{AB}{2}Big)^2} =sqrt{AB^2-frac{AB^2}{4}}=\\\=sqrt{frac{4AB^2-AB^2}{4}}=sqrt{frac{3AB^2}{4}} =frac{ABsqrt{3}}{2}$

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне

$displaystylett S=frac{1}{2} cdot ABcdotfrac{ABsqrt{3}}{2}\\\36sqrt{3} =frac{AB^2sqrt{3}}{4}\\AB^2sqrt{3}=36sqrt{3}cdot4\\AB^2sqrt{3}=144sqrt{3}\\\AB^2=frac{144sqrt{3}}{sqrt{3}}=144\\AB=sqrt{144}=12~dm$

Найдем радиус описанной окружности около правильного треугольника, чтобы далее найти радиус вписанной. Для этого используем формулу:

a₃ = R√3, где a₃ - сторона правильного треугольника, R - радиус описанной окружности

Подставляем

12 = R√3

$displaystylett R=frac{12}{sqrt{3}}=frac{12cdotsqrt{3}}{sqrt{3}cdotsqrt{3}} =frac{12sqrt{3} }{3} =4sqrt{3} ~dm$

Найдем радиус вписанной окружности, используя формулу

$displaystylett r=Rcosfrac{180^circ}{n}$

где r - радиус вписанной окружности в правильный n-угольник, R - радиус описанной окружности около правильного n-угольника, n - число углов правильного треугольника (у нас правильный треугольник)

Подставляем

$displaystylett r=4sqrt{3}cdot cosfrac{180^circ}{3} =4sqrt{3} cdotfrac{1}{2} =2sqrt{3} ~dm$

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, является радиусом описанной окружности около правильного шестиугольника (R₂)

Формула для стороны правильного шестиугольника через радиус описанной около него окружности:

a₆ = R, где a₆ - сторона правильного шестиугольника, R - радиус описанной около него окружности

Подставив, получаем

a₆ = 2√3 дм

Найдем периметр правильного шестиугольника:

P = 2√3 * 6 = 12√3 дм

Найдем радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник по той же формуле через радиус описанной окружности

$displaystylett r=Rcosfrac{180^circ}{n}\\\r=2sqrt{3}cdot cosfrac{180^circ}{6}=2sqrt{3} cdotfrac{sqrt{3}}{2} =frac{6}{2} =3~dm$

Существует формула для нахождения площади правильного n-угольника:

$displaystylett S=frac{1}{2}Pr$

где S - его площадь, P - его периметр, r - радиус вписанной в него окружности

Подставляем

$displaystylett S=frac{12sqrt{3}cdot3}{2}=frac{36sqrt{3}}{2}=18sqrt{3}~dm^2$

Ответ: S = 18√3 дм²

Answer 2

Спасибо огромное!

Answer 3

Более компактное решение.

для этого воспользуемся парой формул

S правильного треугольника= 3√3*r²

где r- радиус вписаной окружности

Из формулы найдем радиус

3√3*r²=36√3

r²=12

Теперь Зная, что сторона Вписанного в окружность Правильного шестиугольника равна радиусу данной окружности, вспомним еще одну формулу

S правильного шестиугольника = (3√3*a²)/2 , где a²=r²

Найдем площадь шестиугольника

S=(3√3*12)/2=3*6*√3=18√3

Answer 4

Спасибо))

Answer 5

r(3) = aV3/6 ; S(6) = 3V3•r^2/2 = a^2•V3/8 = a^2•V3/4•2 = S(3)/2 = 36V3/2 = 18V3