Question

Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 24. Узнай, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим.

Ответ:
разность прогрессии: d=
.

В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):
1. a1=
−
d;
2. f(d)= + d+
d2​

Answer 1

$3a_{2} + a_{4} = 24 \ 3(a_{1} + d) + a_{1} + 3d = 3a_{1} + 3d+ a_{1} + 3d \ 4a_{1} + 6d = 24 \ 2a_{1} + 3d = 12 \ 2a_{1} = 12 - 3d\ a_{1} = frac{12 - 3d}{2}$

$a_{3} times a_{5} = (a_{1} + 2d)( a_{1} + 4d ) = \ = {a}^{2} _{1} + 2a_{1} d + 4a_{1} d + 8 {d}^{2} = \ = {a}^{2} _{1} + 6a_{1} d + 8 {d}^{2}$

${( frac{12 - 3d}{2}) }^{2} + 6(frac{12 - 3d}{2}) d + 8 {d}^{2} \ frac{ {(12 - 3d)}^{2} }{4} + 6d frac{(12 - 3d)}{2} + 8 {d}^{2} = 0 \ {(12 - 3d)}^{2} + 6d(12 - 3d) + 32 {d}^{2} = 0 \ 144 - 72d + 9 {d}^{2} + 144d - 36 {d}^{2} + 32 {d}^{2} = 0 \ 5 {d}^{2} + 72d + 144 = 0$

Находим вершину параболы:

$x = - frac{b}{2a} \ x = - frac{72}{2 times 5} = - 7.2$

Таким образом минимальное значение

$a_{3} times a_{5}$

достигается при d=-7.2

Ответ:

разность прогрессии: d= -7.2