Question

вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой.​

Answer 1

Пусть
$t = 1 + sqrt{2x + 1} \ t - 1 = sqrt{2x + 1}$
Из последнего равенства заключаем, что
$t - 1 geqslant 0 \ t geqslant 1$
Находим новые пределы интегрирования:
если х=0, то t=2; если х=4, то t=4.
Найдем dx:
${(t - 1)}^{2} = 2x + 1 \ 2(t - 1)dt = 2dx \ (t - 1)dt = dx$

Делаем замену в определенном интеграла, используя указанную замену :
$int _ {0}^{4} frac{dx}{1 + sqrt{2x + 1} } = \ = int _ {2}^{4} frac{t - 1}{t} dt = \ = int _ {2}^{4}(1 - frac{1}{t} )dt = \ = (t - ln{t})| _ {2}^{4} = \ = 4 - ln4 - 2 + ln2 = \ = 2 - ln2$
Последняя разность приближенно равна 1,31 (чтобы это показать, надо вычислить ln2. Это можно сделать либо с помощью калькулятора, либо с помощью специальных таблиц).