Ответы
Ответ:
|sin(1)+sin(2)+sin(3)...+sin(k-1)+sin(k)|< ctg(1/4)/2<2
Пошаговое объяснение:
Пусть:
s1=sin(1)+sin(2)+sin(3)...+sin(k-1)+sin(k)
s2=cos(1)+cos(2)+cos(3)...+cos(k-1)+cos(k)
Используем формулы:
sin(x+1)=sin(x)*cos(1)+cos(x)*sin(1)
sin(x-1)=sin(x)*cos(1)-cos(x)*sin(1)
Тогда справедливы равенства:
s1*cos(1)+s2*sin(1)=sin(2)+sin(3)+sin(4)...+sin(k)+sin(k+1)=s1-sin(1)+sin(k+1)
s1*cos(1)-s2*sin(1)=sin(0)+sin(1)+sin(2)...+sin(k-1)=s1-sin(k)
Находим сумму равенств:
2*s1*cos(1)=2*s1 +sin(k+1)-sin(k)-sin(1)
s1=(sin(k+1)-sin(k)-sin(1))/(2*cos(1)-2) - cумма ряда.
|s1|= |(sin(k)-sin(k+1) )/(2-2*cos(1)) + sin(1)/(2-2*cos(1)) |
Найдем наибольшее возможное значение данного выражения в зависимости от k.
Поскольку: sin(1)>0 ; 2-2cos(1)>0
То ,для того чтобы |s1| было наибольшим, необходимо чтобы:
sin(k)-sin(k+1) - было наибольшим.
Преобразуем его следующим образом:
sin(k)-sin(k+1)=sin(k)-sin(k)*сos(1)-cos(k)*sin(1)= (1-cos(1) )*sin(k) - sin(1)*cos(k)
Применим метод вспомогательного аргумента:
(1-cos(1) )*sin(k) - sin(1)*cos(k) =√( (1-cos1)^2 +sin^2(1) ) *sin(x-s)
sin(x-s)<=1
(1-cos(1) )*sin(k) - sin(1)*cos(k)<=√( (1-cos1)^2 +sin^2(1) )=
√(1-2*cos1+cos^2(1)+sin^2(1) )=√(2-2cos(1))
Наибольшее значение: max(sin(k)-sin(k+1) )=√(2-2cos(1))
Откуда:
max(|s1|)= √(2-2cos(1)) /(2-2cos(1)) +sin(1)/(2-2cos(1))=
1/√(2-2cos(1) ) + sin(1)/(2-2cos(1))
2-2cos1=4*sin^2(1/2) - из формулы понижения степени.
sin(1)=2*sin(1/2)*cos(1/2)
Тогда имеем:
1/2 *( 1/sin(1/2) +2*sin(1/2)*cos(1/2) /2*sin^2(1/2)=
=1/2*( 1/sin(1/2) + cos(1/2)/sin(1/2))= 1/2 * (1+cos(1/2))/sin(1/2)=cos^2(1/4)/sin(1/2)
= cos^2(1/4)/2*sin(1/4)*cos(1/4)= 1/2 * cos(1/4)/sin(1/4)= ctg(1/4)/2
Очевидно ,что при a∈[0;π/2) tg(a)>a (что следует из первого замечательного предела)
0<1/4<π/2 → tg(1/4)>1/4
1/tg(1/4)<4
ctg(1/4)<4 → ctg(1/4)/2<2
Таким образом:
|sin(1)+sin(2)+sin(3)...+sin(k-1)+sin(k)|< ctg(1/4)/2<2
Это утверждение справедливо для любого k, а значит справедливо и для k=2019.
Что и требовалось доказать.