Question

Докажите тождество:
$frac{ sin( alpha ) + 2 sin(2 alpha ) + sin(3 alpha ) }{ cos( alpha ) + 2 cos(2 alpha ) + cos(3 alpha ) } = frac{1}{ cot(2 alpha ) }$
Нужно решение до завтра ​

Answer 1

$frac{ sin( alpha ) + 2 sin(2 alpha ) + sin(3 alpha ) }{ cos( alpha ) + 2 cos(2 alpha ) + cos(3 alpha ) } = \ = frac{( sin( alpha ) + sin(3 alpha )) + 2 sin(2 alpha ) }{( cos( alpha ) + cos(3 alpha )) + 2 cos(2 alpha ) } = \ = frac{2 sin( frac{ alpha + 3 alpha }{2} ) cos( frac{ alpha - 3 alpha }{2} ) + 2 sin(2 alpha ) }{2 cos( frac{ alpha + 3 alpha }{2} ) cos( frac{ alpha - 3 alpha }{2} ) + 2 cos(2 alpha ) } = \ = frac{2 sin(2 alpha ) cos( alpha ) + 2 sin(2 alpha ) }{2 cos(2 alpha ) cos( alpha ) + 2 cos(2 alpha ) } = \ = frac{2 sin(2 alpha ) ( cos( alpha ) + 1) }{2 cos(2 alpha ) ( cos( alpha ) + 1)} = \ = frac{ sin(2 alpha ) }{ cos(2 alpha ) } = frac{1}{ frac{ cos(2 alpha ) }{ sin(2 alpha ) } } = \ = frac{1}{ ctg{2 alpha }}$
Что и требовалось доказать.

Замечание.
$cos( frac{ alpha - 3 alpha }{2} ) = cos( - alpha ) = cos( alpha )$
в силу свойств. косинуса (четная функция)