Question

Помогите решить пример, чтобы получился такой ответ(картинка 2), у меня получился через арксинус.

Answer 1

$4, (sinx+cosx)=3, sinxcdot cosx\\\t=sinx+cosx; ,; ; t^2=(sinx+cosx)^2; ,; t^2=underbrace {sin^2x+cos^2x}_{1}+2, sinxcdot cosx; ,\\t^2=1+2, sinxcdot cosx; ,; ; 2, sinxcdot cosxx=t^2-1; ,; ; sinxcdot cosx=frac{t^2-1}{2}\\\4, t=3cdot frac{t^2-1}{2}; ; ,; ; 8, t=3t^2-3; ,; ; 3t^2-8t-3=0; ,\\D/4=4^2+3cdot 3=25; ,; ; t_{1,2}=frac{4pm 5}{3}; ,; ; t_1=-frac{1}{3}; ,; ; t_2=3\\a); ; sinx+cosx=-frac{1}{3}, Big |:sqrt2$

$frac{1}{sqrt2}cdot sinx+frac{1}{sqrt2}cdot cosx=-frac{1}{3sqrt2}\\sinfrac{pi }{4}cdot sinx+frac{pi}{4}cdot cosx=-frac{1}{3sqrt2}\\cos(x-frac{pi}{4})=-frac{1}{3sqrt2}\\x-frac{pi}{4}=pm arccos(-frac{1}{3sqrt2})+2pi n=pm (pi -arccosfrac{1}{3sqrt2})+2pi n; ,; nin Z\\underline {x=frac{pi}{4}pm (pi -arccosfrac{1}{3sqrt2})+2pi n; ,; nin Z}\\b); ; sinx+cosx=3\\cos(x-frac{pi}{4})=3>1; ; Rightarrow ; ; xin varnothing \\Otvet:; ; x=frac{pi }{4}pm (pi -arccosfrac{1}{3sqrt2})+2pi n,; nin Z; .$

P.S.  Если в уравнении одновременно присутствуют сумма sinx и cosx , а также их произведение, то метод решения - замена t=sinx+cosx.