Question

ЛУЧШИЙ ОТВЕТ + БАЛЛЫ
Найдите остаток от делении суммы 4^{2002} +6^{2002} на 25 ?

ВАРИАНТЫ:
A)4
B)18
C)12
D)24
E)2

Answer 1

φ(25)=20.   φ(n) - функция Ейлера

4 взаимно просто с 25

6 взаимно просто с 25

Из теоремы Ейлера:

4^(20) дает остаток 1 на 25

6^(20) дает остаток 1 на 25

Возведем в степень 100:

4^(2000) дает остаток 1 на 25

6^(2000) дает остаток 1 на 25

Умножим первое равенство на 16:

4^(2002) дает остаток 16 на 25

Умножим второе равенство на 36:

6^(2002) сравнимо с 36 по модулю 25, которое дает остаток 11 при делении на 25

То есть 4^(2002)+6^(2002) сравнимо с 16+11=27 по модулю 25, которое дает остаток 2 на 25.

Ответ: 2

Answer 2

И еще одно решение придумал:

Answer 3

4^2002+6^2002=(6^1001+4^1001)^2-2*4^1001*6^1001=((6+4)*(6^1000-6^999*4+...-6*4^999+4^1000))^2-2*24^1001

Answer 4

((6+4)*(6^1000-6^999*4+...-6*4^999+4^1000))^2=100*(6^1000-...+4^1000)^2 делится на 25

Answer 5

-2*24^1001 сравнимо с -2*(-1)^1001=2 по модулю 25

Answer 6

Значит исходное выражение дает остаток 2 при делении на 25