Question

Помогите пожалуйста решить неопределённый интеграл методом рациональных функций :

1)Интеграл x^2-x+14/(x-2)(x-4)^3 dx

2)Интеграл dx/x^4-x^2-2

Answer 1

$1); ; frac{x^2-x+14}{(x-2)(x-4)^3}=frac{A}{x-2}+frac{B}{x-4}+frac{C}{(x-4)^2}+frac{D}{(x-4)^3}; ,\\x^2-x+14=A(x-4)^3+B(x-2)(x-4)^2+C(x-2)(x-4)+D(x-2); ,\\x=2:; ; A=frac{4-2+14}{-8}=-2; ,\\x=4:; ; D=frac{16-4+14}{2}=13; ,\\x^3, |; A+B=0; ; to ; ; B=-A=2\\x^2, |; -12A-10B+C=1; ; to ; ; C=1-24+20=-3\\\int frac{x^2-x+14}{(x-2)(x-4)^3}=int frac{-2, dx}{x-2}+int frac{2, dx}{x-4}+int frac{-3, dx}{(x-4)^2}+int frac{13, dx}{(x-4)^3}=$

$-2ln|x-2|+2ln|x-4|-3cdot frac{(x-4)^{-1}}{-1}+13cdot frac{(x-4)^{-2}}{-2}+C=\\=-2ln|x-2|+2ln|x-4|+frac{3}{x-4}-frac{13}{2(x-4)^2}+C=\\=lnBig (frac{x-4}{x-2}Big )^2+frac{3}{x-4}-frac{13}{2(x-4)^2}+C; ;$

$2); ; frac{1}{x^4-x^2-2}=frac{1}{(x^2-2)(x^2+1)}=frac{1}{(x-sqrt2)(x+sqrt2)(x^2+1)}=\\=frac{A}{x-sqrt2}+frac{B}{x+sqrt2}+frac{Cx+D}{x^2+1}; ,\\1=A(x+sqrt2)(x^2+1)+B(x-sqrt2)(x^2+1)+(Cx+D)(x^2-2); ,\\x=sqrt2:; ; A=frac{1}{6sqrt2}; ,; ; ; x=-srqt2:; ; B=-frac{1}{6sqrt2}\\x^3:; A+B+C=0; ; to ; ; C=-(A+B)=0\\x^0:; Asqrt2-Bsqrt2-2D=1; ; to ; ; 2D=frac{1}{6}+frac{1}{6}-1=-frac{2}{3}; ,; D=-frac{1}{3}$

$int frac{dx}{x^4-x62-2}=frac{1}{6sqrt2}int frac{dx}{x-sqrt2}-frac{1}{6sqrt2}int frac{dx}{x+sqrt2}-frac{1}{3}int frac{dx}{x^2+1}=\\=frac{1}{6sqrt2}cdot ln|x-sqrt2|-frac{1}{6sqrt2}cdot ln|x+sqrt2|-frac{1}{3}arctgx+C=\\=frac{1}{6sqrt2}cdot lnBig |frac{x-sqrt2}{x+sqrt2}Big |-frac{1}{3}arctgx+C; .$