Question

Для десяткового дробу x з значком [х] будемо позначати його цілу частину, тобто найбільше натурально число або 0, що не перевищує х. Наприклад [2,319]=2; [0,319]=0; [2]=2. Знайдіть суму усіх чисел х, для яких виконуються рівність:3х=4[х] Подскажите пожалуйста решение

Answer 1

Найдем все такие числа x;

Пусть $[x]=x-mathcal{E}$, где $0<mathcal{E}<1$;

Из уравнения тогда следует:

$frac{[x]}{x}=frac{3}{4} Rightarrow frac{x-mathcal{E}}{x}=frac{3}{4}Leftrightarrow frac{mathcal{E}}{x}=frac{1}{4}$;

Пусть также $x=frac{m}{n}, ; gcd(m,n)=1$; Из предыдущего уравнения следует, что $mathcal{E}=frac{m}{4n}=frac{x}{4} <1 Leftrightarrow x<4$; Значит x лежит в промежутке от 0 до 4.

Небольшой проверкой находим эти числа: x=4/3, x=8/3; Их сумма равна 4; Конечно, можно было просто перебрать эти числа, но интересней поиграться ;)