Question

Найти общее решение ДУ​

Answer 1

Преобразуем данное уравнение:
${x}^{2} y^{ prime} + {y}^{2} = xy {y}^{ prime} \ {x}^{2} {y}^{ prime} - xy {y}^{ prime} = - {y}^{2} \ {y}^{ prime} ( {x}^{2} - xy) = - {y}^{2} \ {y}^{ prime} = frac{ {y}^{2} }{xy - {x}^{2} } \ {y}^{ prime} = frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2}( frac{y}{x} - 1) } \ {y}^{ prime} = frac{ {( frac{y}{x}) }^{2} }{ frac{y}{x} - 1}$
Последнее уравнение есть однородное уравнение. Решим его методом замены переменной.
Пусть
$frac{y}{x} = z : : z = z(x) \ y = xz \ {y}^{ prime} = z + x {z}^{ prime}$
тогда
$z + x {z}^{ prime} = frac{ {z}^{2} }{z - 1} \ x {z}^{ prime} = frac{ {z}^{2} }{z - 1} - z \ x {z}^{ prime} = frac{z}{z - 1} \ {z}^{ prime} = frac{1}{x} frac{z}{z - 1}$
—уравнение с разделяющимися переменными
$frac{dz}{dx} = frac{1}{x} frac{z}{z - 1} \ frac{z - 1}{z}dz = frac{dx}{x} \ int(1 - frac{1}{z}) dz = int frac{dx}{x} \ z - ln |z| = ln |x| + c \ frac{y}{x} - ln| frac{y}{x} | = ln |x| + c \ frac{y}{x} - ( ln | frac{y}{x} | + ln |x| ) = c \ frac{y}{x} - ln |y| = c$
—общее решение исходного уравнения