Ответы
Ответ дал:
0
Преобразуем данное уравнение:
![{x}^{2} y^{ prime} + {y}^{2} = xy {y}^{ prime} \ {x}^{2} {y}^{ prime} - xy {y}^{ prime} = - {y}^{2} \ {y}^{ prime} ( {x}^{2} - xy) = - {y}^{2} \ {y}^{ prime} = frac{ {y}^{2} }{xy - {x}^{2} } \ {y}^{ prime} = frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2}( frac{y}{x} - 1) } \ {y}^{ prime} = frac{ {( frac{y}{x}) }^{2} }{ frac{y}{x} - 1} {x}^{2} y^{ prime} + {y}^{2} = xy {y}^{ prime} \ {x}^{2} {y}^{ prime} - xy {y}^{ prime} = - {y}^{2} \ {y}^{ prime} ( {x}^{2} - xy) = - {y}^{2} \ {y}^{ prime} = frac{ {y}^{2} }{xy - {x}^{2} } \ {y}^{ prime} = frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2}( frac{y}{x} - 1) } \ {y}^{ prime} = frac{ {( frac{y}{x}) }^{2} }{ frac{y}{x} - 1}](https://tex.z-dn.net/?f=+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+y%5E%7B+prime%7D++%2B++%7By%7D%5E%7B2%7D++%3D+xy+%7By%7D%5E%7B+prime%7D++%5C++%7Bx%7D%5E%7B2%7D++%7By%7D%5E%7B+prime%7D++-+xy+%7By%7D%5E%7B+prime%7D++%3D++-++%7By%7D%5E%7B2%7D+%5C++%7By%7D%5E%7B+prime%7D+%28+%7Bx%7D%5E%7B2%7D++-+xy%29+%3D++-++%7By%7D%5E%7B2%7D++%5C++%7By%7D%5E%7B+prime%7D++%3D++frac%7B+%7By%7D%5E%7B2%7D+%7D%7Bxy+-++%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%7D++%5C++%7By%7D%5E%7B+prime%7D++%3D++frac%7B+%7By%7D%5E%7B2%7D+%7D%7B+%7Bx%7D%5E%7B2%7D%28+frac%7By%7D%7Bx%7D++-+1%29+%7D++%5C++%7By%7D%5E%7B+prime%7D++%3D++frac%7B+%7B%28+frac%7By%7D%7Bx%7D%29+%7D%5E%7B2%7D+%7D%7B+frac%7By%7D%7Bx%7D++-+1%7D+)
Последнее уравнение есть однородное уравнение. Решим его методом замены переменной.
Пусть
![frac{y}{x} = z : : z = z(x) \ y = xz \ {y}^{ prime} = z + x {z}^{ prime} frac{y}{x} = z : : z = z(x) \ y = xz \ {y}^{ prime} = z + x {z}^{ prime}](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7By%7D%7Bx%7D++%3D+z+%3A++%3A+z+%3D+z%28x%29+%5C+y+%3D+xz+%5C++%7By%7D%5E%7B+prime%7D++%3D+z+%2B+x+%7Bz%7D%5E%7B+prime%7D+)
тогда
![z + x {z}^{ prime} = frac{ {z}^{2} }{z - 1} \ x {z}^{ prime} = frac{ {z}^{2} }{z - 1} - z \ x {z}^{ prime} = frac{z}{z - 1} \ {z}^{ prime} = frac{1}{x} frac{z}{z - 1} z + x {z}^{ prime} = frac{ {z}^{2} }{z - 1} \ x {z}^{ prime} = frac{ {z}^{2} }{z - 1} - z \ x {z}^{ prime} = frac{z}{z - 1} \ {z}^{ prime} = frac{1}{x} frac{z}{z - 1}](https://tex.z-dn.net/?f=z+%2B+x+%7Bz%7D%5E%7B+prime%7D++%3D++frac%7B+%7Bz%7D%5E%7B2%7D+%7D%7Bz++-++1%7D++%5C+x+%7Bz%7D%5E%7B+prime%7D++%3D++frac%7B+%7Bz%7D%5E%7B2%7D+%7D%7Bz+-+1%7D++-+z+%5C+x+%7Bz%7D%5E%7B+prime%7D++%3D++frac%7Bz%7D%7Bz+-+1%7D++%5C++%7Bz%7D%5E%7B+prime%7D++%3D++frac%7B1%7D%7Bx%7D++frac%7Bz%7D%7Bz+-+1%7D+)
—уравнение с разделяющимися переменными
![frac{dz}{dx} = frac{1}{x} frac{z}{z - 1} \ frac{z - 1}{z}dz = frac{dx}{x} \ int(1 - frac{1}{z}) dz = int frac{dx}{x} \ z - ln |z| = ln |x| + c \ frac{y}{x} - ln| frac{y}{x} | = ln |x| + c \ frac{y}{x} - ( ln | frac{y}{x} | + ln |x| ) = c \ frac{y}{x} - ln |y| = c frac{dz}{dx} = frac{1}{x} frac{z}{z - 1} \ frac{z - 1}{z}dz = frac{dx}{x} \ int(1 - frac{1}{z}) dz = int frac{dx}{x} \ z - ln |z| = ln |x| + c \ frac{y}{x} - ln| frac{y}{x} | = ln |x| + c \ frac{y}{x} - ( ln | frac{y}{x} | + ln |x| ) = c \ frac{y}{x} - ln |y| = c](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7Bdz%7D%7Bdx%7D++%3D++frac%7B1%7D%7Bx%7D++frac%7Bz%7D%7Bz+-+1%7D++%5C++frac%7Bz+-+1%7D%7Bz%7Ddz+%3D++frac%7Bdx%7D%7Bx%7D+++%5C++int%281+-++frac%7B1%7D%7Bz%7D%29+dz+%3D++int+frac%7Bdx%7D%7Bx%7D++%5C+z+-++ln+%7Cz%7C+++%3D++ln+%7Cx%7C++%2B+c+%5C++frac%7By%7D%7Bx%7D++-++ln%7C+frac%7By%7D%7Bx%7D+%7C+++%3D++ln+%7Cx%7C++%2B+c+%5C++frac%7By%7D%7Bx%7D++-+%28+ln+%7C+frac%7By%7D%7Bx%7D+%7C+++%2B++ln+%7Cx%7C+%29+%3D+c+%5C++frac%7By%7D%7Bx%7D++-++ln+%7Cy%7C++%3D+c)
—общее решение исходного уравнения
Последнее уравнение есть однородное уравнение. Решим его методом замены переменной.
Пусть
тогда
—уравнение с разделяющимися переменными
—общее решение исходного уравнения
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
2 года назад
2 года назад
7 лет назад
7 лет назад
8 лет назад